Kruskal-Wallis Analysis of Rank

BAB I
PENDAHULUAN

1.1 Latar belakang
Statistik non parametrik merupakan alternatif dalam memecahkan masalah, seperti pengujian hipotesis atau pengambilan keputusan, apabila statistik parametrik tidak dapat dipergunakan.
Statistik nonparametrik termasuk salah satu bagian dari statistik inferensi atau statistik induktif dan disebut juga statistik bebas distribusi. Statistik nonparametrik adalah statistik yang tidak memerlukan asumsi-asumsi tertentu, misalnya mengenai bentuk distribusi dan hipotesis-hipotesis yang berkaitan dengan nilai-nilai parameter tertentu.
Statistik nonparametrik digunakan apabila:
1) Sampel yang digunakan memiliki ukuran yang kecil.
2) Data yang digunakan bersifat ordinal, yaitu data-data yang bisa disusun dalam urutan atau diklasifikasi rangkingnya.
3) Data yang digunakan bersifat nominal, yaitu data-data yang dapat diklasifikasikan dalam kategori dan dihitung frekuensinya.
4) Bentuk distribusi populasi dan tempat pengambilan sampel tidak diketahui menyebar secara normal.
5) Ingin menyelesaikan masalah statistik secara cepat tanpa menggunakan alat hitung.
Pengujian hipotesis statistik nonparametrik pada dasarnya sama dengan pengujian hipotesis statistik parametrik .Asumsi yang digunakan pada pengujian hipotesis statistik nonparametrik hanyalah bahwa observasi-observasi independen dan variabel yang diteliti memiliki kontinuitas. Asumsi bahwa variabel yang diteliti memiliki kontinuitas juga diperlukan dalam uji parametrik, namun dalam uji non parametrik, asumsi tersebut lebih longgar.
Uji Kruskal-Wallis merupakan salah satu pengujian dari statistik nonparametrik. Perhitungan dari uji Kruskal-Wallis dengan menggabungkan semua subjek dan diurutkan dari yang paling rendah sampai yang paling tinggi. Jumlah urutan subjek-subjek pada tiap kelompok kemudian dibandingkan.

1.2 Permasalahan
Dalam makalah ini kami akan membahas tentang salah satu uji dari statistik nonparametric yaitu “Apakah yang dimaksud dengan “Test Kruskal-Wallis analysis of ranks”?”

1.3 Tujuan
Adapun tujuan yang dapat dipaparkan dalam makalah ini adalah sebagai berikut:
1.3.1 Tujuan Umum
a. untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan Test Kruskal-Wallis analysis of rank
1.3.2 Tujuan Khusus
a. Untuk mengetahui pengertian dari Test Kruskal-Wallis analysis of rank
b. Untuk mengetahui fungsi dari Test Kruskal-Wallis analysis of rank
c. Untuk mengetahui metode dari Test Kruskal-Wallis analysis of rank
d. Untuk mengetahui langkah-langkah dari Test Kruskal-Wallis analysis of rank
e. Untuk mengetahui cara pemakaian dari Test Kruskal-Wallis analysis of rank


BAB II
PEMBAHASAN

2.1 Pengertian Uji Kruskal-Wallis
Uji Kruskal-Wallis (H Test) pertama kali diperkenalkan Willian H.Kruskall dan Allen Wallis pada tahun 1952. Uji Kruskal-Wallis dikenal juga sebagai uji H.
Uji Kruskal-Wallis merupakan pengembanan dari uji Mann-Whitney. Metode ini merupakan metode nonparametrik dengan menpergunakan teknik rank (urutan). Uji ini digunakan untuk menguji asumsi pertama yang menjelaskan adanya sifat kenormalan dari distribusi data. Uji ini digunakan untuk membandingkan rata-rata tiga sample atau lebih, sehingga merupakan alternatif dari analisis varian untuk 1 arah (ANOVA) atau pengujian hipotesa 3 rata-rata atau lebih dengan mengunakan distribusi F untuk satu arah dari uji parametrik.
Uji Kruskal-Wallis membutuhkan pemenuhan asumsi yang lebih longgar dari pada ANOVA satu arah, yaitu:
 Sampel-sampel berasal dari populasi independen. Pengamatan satu dan yang lainya independen.
 Sampel dicuplik secara acak dari populasi masing-masing.
 Data diukur minimal dalam skala ordinal.
Jadi, uji Kruskal-Wallis adalah uji yang digunakan untuk menguji kemaknaan perbedaan (jika memang ada perbedaan) beberapa (k) sampel independen dengan data berskala ordinal.

2.2 Fungsi Uji Kruskal-Wallis
Uji H atau Kruskal-Wallis adalah suatu uji statiska yang dipergunakan untuk menetukan apakah k sample independen berasal dari populasi yang sama ataukah berbeda. Sampel-sampel yang yang diambil dari populasi dapat berbeda, hal ini dapat terjadi karena populasi yang berbeda atau populasi yang sama. Apabila populasi yang sama, maka perbedaan itu hanyalah karena faktor kebetulan saja. Metode Kruskal-Wallis atau uji H menguji suatu hipotesa Null yang menyatakan bahwa k sampel berasal dari populasi yang sama atau identik.

2.3 Metode Uji H
Metode uji H, masing-masing nilai data observasi diganti dengan ranking atau skor. Semua sampel yang ada dalam k diurutkan dalam satu rangkaian. Nilai data terkecil diberi skor atau ranking 1 dan seterusnya untuk seluruh data pada k sampel. Atau dapat ditulis\suatu random terdiri dari n1, n 2, ……, n k dari populasi sebesar K, maka n = n1 + n2 + …….+ nk , sedang jumlah ranking (R) dinyatakan dengan R1 + R2 + ……+ Rk.
Hipotesis yang akan diuji dinyatakan sebagai berikut:
 Ho = Distribusi semua populasi identik (yaitu k populasi dari mana sampel yang memiliki mean yang sama (x1 = x2 = x3 = ……. = x k) ).
 Hi = Paling sedikit satu populasi menunjukan nilai-nilai yang lebih besar dari pada populasi lainnya (yaitu k poplasi dari mana sampel diambil tidak memiliki mean yang sama, sedikitnya ada 1 mean yang tidak sama (x1 ≠ x2 ≠ x3 ≠ ……. ≠ x k) ).

2.4 Langkah-langkah Kruskal-Wallis
1) Ukuran sampel adalah nj, dengan j = 1, 2, 3,….., k. Ukuran sampel total disebut N. Format table Kruskal-Wallis disajikan pada Tabel 1
SAMPEL (KELOMPOK)
I
x11
x21
x31
…
Xn11 II
x12
x22
x32
…
Xn22 III
x13
x23
x33
…
Xn33 …
…
…
…
…
… k
x1k
x2k
x3k
…
Xnkk


2) Semua nilai pengamatan dari seluruh (k) sampel independen digaungkan dalam satu seri.
3) Tiap nilai pengamatan diberi peringkat mulai dari 1 untuk nilai terkecil, sampai dengan n untuk nilai terbesar. Jika terdapat angka-angka sama, peringkat yang diberikan adalah peringkat rata-rata menurut posisi peringkat jika saja tidak terdapat angka-angka sama.
4) Peringkat dalam masing-masing sampel dijumlahkan dan jumlahnya disebut R. Jika hipotesis Null benar, peringkat-peringkat akan tersebar merata diantra sampel-sampel itu, sedemikian rupa sehingga jumlah peringkat sampel (Rj) proporsional dengan ukuran sampel (nj). Besarnya perbedaan antara peringkat pengamatan dan peringkat yang peringkat yang hipotesis Null nya benar tercermin dari besarnya statistik H.
5) Setelah data tersusun dari langkah (1) sampai (4), di dapat stastistik uji Kruskal-Wallis dengan rumus:


Keterangan:
k = banyaknya sampel (independen).
nj = ukuran sampel ke-j, dengan j = 1, 2, 3,….., k.
N = jumlah pengamatan seluruh kelompok sampel
Rj = jumlah peringkat pada sampel ke-j, dengan j = 1, 2, …., k.

Pada keadaan dengan Ho benar, statistik uji H Kruskal Wallis didistribusikan seperti disajikan pada tabel H (Kruskal-Wallis). Nilai-nilai kritis H untuk berbagai ukuran sampel n dan tingkat kemaknaan  disajikan pada tabel H (Kruskal-Wallis) tersebut. Lebih dari itu, jika ukuran n besar ternyata distribusi statistik uji H Kruskal-Wallis dapat didekati dengan ditribusi pencuplikan 2 dengan derajat bebas k – 1. Kedua distribusi pencuplikan itu memberikan kita dua pilihan aturan pengembilan keputusan statistik.
Keputusan statistik diambil dengan aturan sebagai berikut:
1) Jika k ≤ 3 dan nj ≤ 5 buah pengamatan, kemaknaan statistik H hitung ditentukan dengan mengacu kepada Tabel H (Kruskal-Wallis). Hipotesis Null ditolak apabila probabilitas untuk memperoleh nilai sebesar dengan statistik uji H yang telah di hitung adalah lebih kecil atau sama dengan .
2) Jika k > 3 dan nj > 5, maka kita digunakan Tabel C (Kai Kudrat). Statistic H dapat langsung dibandingkan dengan nilai kritis 2 tabel dengan derajat bebas = k – 1 dan tingkat kemaknaan . Ho ditolak bila statistik H ≥ 2 tabel.

Nilai-nilai pengamatan dengan angka saadiberi peringkat rata-rata menurut posisi peringkat jika saja tidak terdapat angka sama.
Karena angka-angka sama itu berpotensi mempengaruhi kuantitas statistik uji H, statistik uji H Kruskal-Wallis perlu dikoreksi dengan faktor koreksi sebagai berikut:

Keterangan:
Tj = tj3 - tj
tj = banyaknya peringkat yang sama dalam kelompok ke j, dengan j = 1, 2,…
, k.

Formual statistk uji H Kruskal-Wallis yang telah dikoreksi menjadi sebagai berikut:





2.5 Contoh dari Uji Kruskal-Wallis
Asam arakhidonat diketahui berpengaruh terhadap metabolisme okuler. Pemberikan topical asam arakhidonat menyebabkan gejala dan tanda, antara lain penutupan kelopak mata, gatal-gatal dan kotoran mata. Sebuah eksprimen berminat mempelajari efektivitas anti-inflamasi okuler tiga jenis obat terhadap penutupan kelopak mata setelah pemberian asam arakhidonat.
1) DATA
Sebuah eksprimen dilakukan untuk membandingkan efek tiga jenis obat: indomethacine Aspirin, dan piroxicam terhadap penutupan kelopak mata 13 ekor kelinci putih sesudah pemberian asam arakhidonat.
Kedua belah mata dari semua kelinci percobaan diberi larutan asam arakhidonat. Sepuluh menit kemudian, mata kiri diberi larutan saline, sedangkan yang kanan diberi salah atu obat anti-inflamasi. Lima belas menit kemudian, perubahan pembukaan kelopak mata dinilai dengan skor 0 sampai 3, sebagai berikut:
Skor 0 = tidak ada perubahan pembukaan
Skor 1 = perubahan pembukaan minimal
Skor 2 = perubahan pembukaan sedang
Skor 3 = perubahan pembukaan maksimal
Efektivitas (x) didefenisikan sebagai selisih antara perubahan pembukaan kelopak mata kanan dan kiri. Nilai x yang besar menunjukan efektivitas obat hasilnya disajikan pada Tabel 2
Karena varibel diukur dalam sakal ordinal (0, 1, 2, 3), maka teknik non parametrik tepat digunakan untuk membandingkan ketiga jenis obat. Dapatkah kita menarik kesimpulan bahwa ketiga jenis obat tersebut mempunyai efektivitas yang sama sebagai anti-inflamasi okuler, pada  = 0,01.




Tabel 2.Pengaruh tiga jenis obat anti-inflamasi okuler pada penutupan kelopak mata 13 kelinci putih, setelah pemberian asam arakhidonat.
INDOMETHACINE ASPIRIN PIROXICAM
SKOR* PERINGKAT SKOR* PERINGKAT SKOR* PERINGKAT
+3 11,5 +1 3,5 +2 7,5
+3 11,5 0 1 +2 7,5
+2 7,5 +2 7,5 +3 11,5
+1 3,5 +1 3,5 +1 3,5
+3 11,5
R1 = 45,5 R2 = 15,5 R3 = 30

2) ASUMSI
Semua sampel independen dan dicuplik secara acak dari populasi masin-masing.
3) HIPOTESIS
Ho = distribusi populasi perubahan pembukaan kelopak mata pada ketiga jenis
obat identik.
Hi = paling sedikit satu populasi menunjukan nilai-nilai yang lebih besar dari
pada lainnya.
Telah ditentukan  = 0,01
4) STATISTIK UJI
Kita gunakan statistik uji Kruskal-Wallis sebagai berikut



5) DISTRIBUSI STATISTIK UJI
Kita gunakan distribusi statistik H Kruskal-Wallis sebab k ≤ 3 dan nj ≤ 5. nilai-nilai kritis H untuk berbagai ukuran sampel dan tingkatan kemenakan  disajikan pada tabel H (Kruskal-Wallis).
6) ATURAN PENGAMBILAN KEPUTUSAN
Ho ditolak apabila probabilitas untuk memperoleh nilai sebesar atau sama dengan statistik uji H yang telah dihitung ≤  = 0,01.
7) PENGHITUNGAN STATISTIK UJI
Setelah 3 sampel digabungkan dalam satu seri dan diberi peringkat, hasilnya terlihat pada tabel di atas. Apabila hipotesis null benar, peringkat-peringkat tersebut akan tersebar merata diantara ketiga sampel, sedimikian rupa sehingga jumlah peringkat sampel (Rj) sesuai dengan ukuran sampel (nj). besarnya perbedaan antara peringkat pengamatan dan peringkat yang hipotesis null nya benar tercermin dari besanya statistik H.



8) KEPUTUSAN STATISTIK
Tabel H memperlihatkan bahwa untuk nj = 5, 4, dan 4, maka probabilitas untuk memperoleh niali H ≥ 4,095 adalah lebih besar dari pada  = 0,102. karena p > 0,102, maka Ho tidak dapat ditolak.
9) KESIMPULAN
Kita simpulkan tidak terdapat perbedaan potensi anti-inflamasi okuler yang bermakna antara ketiga jenis obat. Untuk uji ini p > 0,102.
Karena terdapat beberapa peringkat yang sama pada gabungan ketiga sampel itu, statistik H perlu dikoreksi. Perhitungan koreksi adalah sebagai berikut:
Kelompok samapel I T1 = 33 -3 = 24
Kelompok samapel II T2 = 23 -3 = 6
Kelompok samapel III T3 = 23 -3 = 6
∑ T123 = 36

Faktor koreksi:



Akhirnya, statistik H dengan koreksi ialah:

Statistik uji Hkoreksi = 4.163 tidak bermakna (p > 0,102).
Dari formula Hkoreksi, bisa ditarik kesimpulan bahwa faktor koreksi akan memperbesar statistik H. seperti dijabarkan diatas, Hkoreksi = 4.163 > H sebelum koreksi H = = 4,095. Jadi, apabila tanpa koreksi statistik H sudah bermakna pada tingkat kemaknan , koreksi itu tidak diperlukan.

BAB III
PENUTUP

3.1 Kesimpulan
Adapun kesimpulan yang dapat dipaparkan dari pembahasan tentang Test Kruskal-Wallis analysis of rank adalah sebagai berikut:
1. Test Kruskal-Wallis analysis of rank merupakan salah satu dari uji statistik nonparametrik.
2. Test Kruskal-Wallis analysis of rank adalah uji yang digunakan untuk menguji kemaknaan perbedaan (jika memang ada perbedaan) beberapa (k) sampel indenpeden denagn data berskala ordinal.
3. fungsi dari Test Kruskal-Wallis analysis of rank adlah untuk membandingkan rata-rata 3 sampel atau lebih dengan menentukan apakah k sampel independen berasal dari populasi yang sama ataukah berbeda.
4. metode Test Kruskal-Wallis analysis of rank menguji suatu hipotesa null yang menyatakan bahwa k sampel berasal dari populasi yang sama/identik.
5. Test Kruskal-Wallis analysis of rank disebut juga dengan uji H.
6. adapun formula dari Test Kruskal-Wallis analysis of rank adalah



Keterangan:
k = banyaknya sampel (independen).
nj = ukuran sampel ke-j, dengan j = 1, 2, 3,….., k.
N = jumlah pengamatan seluruh kelompok sampel
Rj = jumlah peringkat pada sampel ke-j, dengan j = 1, 2, …., k.

DAFTAR PUSTAKA


Boedijoewono, Noegroho. 2001. Pengantar Statistik Ekonomi dan Perusahaan. AMP YKPN: Yogyakarta
Boedijoewono, Noegroho. 2001. Pengantar Statistik Ekonomi dan Perusahaan. Edisi ke 2. AMP YKPN: Yogyakarta
Hasan, M Iqbal. 1999. Pokok-pokok Materi Statistik 2 (Statistik Inferensi). Bumi Aksara
: Jakarta
Murti, Birma. 1996. Penerapan Metode Statistik Nonparametrik dalam Ilmu-ilmu Kesehatan. PT Gramedia Pustaka: Jakarta
Siegel, Sidney. 1997. Staistik Nonparametrik untuk Ilmu-ilmu Sosial. PT Gramedia Pustaka Utama: Jakarta